PC lässt sich nicht mehr einschalten

Keine Ahnung, was dir/euch an Ersatzhardware zur Verfügung steht, aber ich würde, nachdem ich zunächst alle Anschlüsse auf korrekten Sitz geprüft hätte, mal ein anderes, ausreichendes Netzteil einbauen und auch direkt schon eine Ersatzgrafikkarte zur Hand haben. Wenn sich nach dem Tausch des Netzteils immer noch nichts tut, könnte man noch versuchen das BIOS (stromlos) zu resetten (CMOS Clr). Kann man jetzt auch schon versuchen, wird aber wahrscheinlich nichts bringen.
Außerdem sind PCs von Muttis meistens solche Staubfänger, die mal (vorsichtig) gereinigt werden sollten.

Wenn alle Anschlüsse fest sitzen, würde ich zunächst auf einen Fehler/Defekt des Netzteils tippen und bei der obigen Fehlerbeschreibung wird die Grafikkarte wohl auch nicht mehr gesund sein. Bei Netzteildefekten ist es auch nie auszuschließen, dass das Mainboard noch in Mitleidenschaft gezogen wurde. Ohne Austauschhardware, die man da mal testweise einbaut, ist da wohl nicht viel zu machen und es bleibt wahrscheinlich nur der Besuch einer Reparaturwerkstatt - falls sich das noch lohnt.
Wenn es sich um ältere Hardware handelt, könnte man vielleicht versuchen, sowas günstig auf einem Flohmarkt zu besorgen. Aber wie gesagt, es ist nicht ausgeschlossen, dass auch das Mainboard beschädigt ist. So etwas muss man eben testen. Es kann auch "nur" am Board liegen oder theoretisch sogar am Ein/Aus-Taster.
Das Netzteil/Grafikkarte-Duo ist natürlich auch nur ein Tipp von mir. Ich würde jedenfalls so anfangen.

Wenn ich mir deinen Eröffnungspost noch mal durchlese, so hat Vieles für mich doch rein gar nix mit einer leeren BIOS-Batterie zu tun.
Die Spezies hier im Forum können mir ja mal bitte erklären, warum der Monitor bei einer leeren Batterie im Stand-By bleiben sollte. Normalerweise klappert das BIOS doch die Quellen ab, der Monitor geht an und zeigt irgendwelche Fehlermeldungen wie "system time not set", "invalid date and time" oder irgendeinen CMOS-Error.
Und wodurch lassen sich plötzlich auftretende laute Geräusche erklären, die dann (beim korrekten Starten) wieder weg sind? Durch die Lüftersteuerung im BIOS, die sich anschließend durch Zauberhand wieder aktiviert? Und das auch noch bei einem Fujitsu-Siemens-PC? 8O
Oder was haben die Bildfehler, die nach 10 Minuten wieder verschwinden, mit dem BIOS zu tun? Wenn's anders herum gewesen wäre (gutes Bild -> schlechtes Bild), hätte man das vielleicht noch auf die Temperatur schieben können.

Aber, wie heißt es so schön: Wer heilt, hat recht.